Квантовое состояние

Квантовое состояние — любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система. Чистое квантовое состояние может быть описано:

В волновой механике — волновой функцией,
В матричной механике — вектором состояния, или полным набором квантовых чисел для определённой системы.

Эти описания математически равнозначны. В общем случае квантовое состояние (смешанное) принципиально не может быть описано волновой функцией и должно быть описано матрицей плотности, являющейся неотрицательным самосопряжённым оператором с единичным следом. Квантовые состояния можно интерпретировать как статистические ансамбли с некоторыми фиксированными квантовыми числами.

Распределение плотности вероятности для электрона в атоме водорода, находящемся в различных состояниях.

Векторы состояний

Для описания возможных состояний заданной квантовой системы применяется математический аппарат гильбертова пространства [math]\displaystyle{ \mathcal{H} }[/math], позволяющий практически полностью описать всё, что может происходить с системой.

Для описания квантового состояния в этом случае вводится так называемый вектор состояния (амплитуда состояния), представляющий собой множество математических величин, которое полностью описывает квантовую систему. К примеру, множество 4 чисел {[math]\displaystyle{ n \ }[/math], [math]\displaystyle{ \ell \ }[/math], [math]\displaystyle{ m_\ell \ }[/math], [math]\displaystyle{ m_s }[/math]} определяет состояние электрона в атоме водорода, и называются квантовыми числами электрона.

Подобная конструкция оказывается возможной благодаря принципу суперпозиции для квантовых систем. Он проявляется в том, что если существуют два возможных состояния квантовой системы, причём в первом состоянии некоторая наблюдаемая величина может принимать значения p₁, p₂, …, а во втором — q₁, q₂,… , то существует и состояние, называемое их суперпозицией, в котором эта величина может принимать любое из значений p₁, p₂, …, q₁, q₂,…. Количественное описание этого явления приведено ниже.

Обозначения бра-кет

Будем обозначать вектор состояния, соответствующий состоянию [math]\displaystyle{ \psi }[/math], как [math]\displaystyle{ \left|\psi\right\rangle }[/math]. Сопряжённый вектор, соответствующий состоянию [math]\displaystyle{ \psi }[/math], будем обозначать как [math]\displaystyle{ \left\langle\psi\right| }[/math]. Скалярное произведение векторов [math]\displaystyle{ \left|\psi\right\rangle }[/math] и [math]\displaystyle{ \left|\phi\right\rangle }[/math] будем обозначать как [math]\displaystyle{ \left\langle\phi|\psi\right\rangle }[/math], а образ вектора [math]\displaystyle{ \left|\psi\right\rangle }[/math] под действием оператора [math]\displaystyle{ \mathcal F }[/math] будем обозначать [math]\displaystyle{ \mathcal F\left|\psi\right\rangle }[/math]. Символ [math]\displaystyle{ \left\langle\psi\right| }[/math] называется бра (англ. bra), а символ [math]\displaystyle{ \psi }[/math], как [math]\displaystyle{ \left|\psi\right\rangle }[/math] — кет (англ. ket). Подобные обозначения в целом согласуются с обозначениями обычной линейной алгебры, но более удобны в квантовой механике, так как позволяют более наглядно и коротко называть используемые векторы. Такие обозначения были впервые введены Дираком. Названия векторов образованы разбиением слова bracket (скобка) на две звучные части — bra и ket.

Математический формализм

Всякий ненулевой вектор из пространства [math]\displaystyle{ \mathcal{H} }[/math] соответствует некому чистому состоянию. Однако векторы, различающиеся лишь умножением на ненулевое комплексное число, отвечают одному физическому состоянию. Иногда полагают, что вектор состояния [math]\displaystyle{ |\psi\rangle }[/math] обязан быть «нормирован на единицу»: [math]\displaystyle{ \langle\psi|\psi\rangle = 1 }[/math] — любой ненулевой вектор приобретает это свойство, если разделить его на свою норму [math]\displaystyle{ \sqrt{\langle\psi|\psi\rangle} }[/math].

Если мы рассмотрим два различных состояния, то суперпозиции (всевозможные линейные комбинации) пары соответствующих им векторов дадут двумерное линейное комплексное пространство. Соответственное множество физических состояний будет представлять двумерную поверхность — сферу Римана.

При рассмотрении квантовой системы, состоящей из двух подсистем, пространство состояний строится в виде тензорного произведения. Подобные системы, помимо комбинаций состояний своих подсистем, имеют также и сцепленные (запутанные) состояния.

«Количество состояний»

Если система имеет хотя бы два физически различных состояния, то мощность множества возможных векторов состояния (даже с точностью до умножения на комплексное число), разумеется, бесконечна. Однако под количеством состояний квантовой системы подразумевают количество линейно независимых состояний, то есть размерность пространства [math]\displaystyle{ \mathcal{H} }[/math]. Это вполне соответствует интуиции, поскольку описывает количество возможных исходов измерения; к тому же при тензорном произведении (то есть построении составной системы) размерности пространств перемножаются.

В контексте рассмотрения замкнутой квантовой системы (то есть решения уравнения Шрёдингера) под состояниями могут пониматься только стационарные состояния — собственные векторы гамильтониана, отвечающие различным уровням энергии. В случае конечномерного пространства [math]\displaystyle{ \mathcal{H} }[/math] и при отсутствии вырождения число уровней энергии (и соответствующих им состояний) будет равно размерности пространства.

Чистое состояние

Чистое состояние — это полностью указанное квантовое состояние. Если данный квантовый объект (например, какая-то элементарная частица) находится в чистом состоянии, это означает, что у нас есть вся информация о ней. Только чистые состояния полностью можно описать волновыми функциями.

См. также

Литература

Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шрёдингера. М.: Изд-во МГУ, 1983. 392 с.
Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c. Глава IV.
Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с. Архивная копия от 11 ноября 2007 на Wayback Machine
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.
Isham, Chris J. Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations. — Imperial College Press, 1995.
Bratteli, Ola. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1 / Ola Bratteli, Robinson, Derek W. — Springer, 1987. — ISBN 2nd edition.
Bengtsson I. Geometry of Quantum States / Bengtsson I, Życzkowski K. — Cambridge : Cambridge University Press, 2006.